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SECTION I
DISPOSITIFS TEPEX : DISTANCEMETRES en MESURES TRAVERSANTES
PRINCIPE de FONCTIONNEMENT - THEORIE

Auteur : Jacques LEPAISANT
Mars 2014

INTRODUCTION

Les dispositifs TEPEX en mesure traversante permettent la mesure directe de la distance entre deux points séparés par un milieu « M » magnétiquement neutre et éventuellement opaque.

Applications typiques :

- en contrôle foration : mesure de l'épaisseur de la banquette, mesure de la sur profondeur de foration ;

- en localisation « 2D » : rattachement sol / sous-sol, petit arpentage (en extérieur, en souterrain).

Un ensemble de mesure se compose :

- d'une sonde d'émission - AE - qui impose dans son environnement un champ d'induction sinusoïdal ;

- d'un boîtier récepteur comportant l'antenne de réception (AR), l'électronique d'acquisition, de gestion , de calcul et d'affichage.

L'exposé succinct du principe de fonctionnement des mesureurs TEPEX fait appel à des connaissances en électromagnétisme telles que :

- rayonnement du dipôle magnétique ;

- régime de champ proche : onde à dominante magnétique ;

- phénomènes de propagation en milieu conducteur, régime de champ intermédiaire, effet de peau.

Liens Internet et bibliographie :

[1] : http://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_field - « Electromagnetic field » ;
[2] : http://http://www.youscribe.com/.../dipoles-en-regime-statique-ou-a-r-q-s-1712158 - « Dipôle électrostatique et dipôle magnétique ( ARQS ) » ;
[3] : https://en.wikipedia.org/wiki/Skin_effect ;
[4] : http://www..mathcurve.com/courbes2d/magneticcirculaire/magneticcirculaire.shtml ;
[5] : http://www.speleo-correze.org/arcana/article_arcana.htm - Article: « SC Info n°8 / 1988 par Jean Louis AMIARD » ;
[6] : Article « A channel sounder for Sub-Surface Communications - David Gibson - BCRA Cave Radio and Electronic Group Journal, 38, Dec. 1999. »

PRINCIPE DE LA MESURE

L'antenne - AR - de réception est centrée en un point P du milieu « M » ; en ce point - dans sa direction axiale - la sonde d'émission calibrée (paramètres B0, d0) impose une induction de valeur instantanée notée ba(P,temps), de valeur efficace Ba(P). La valeur de la distance « da » entre les centres des antennes est obtenue par la relation :

da = d0[ B0 / Bv(P) ] 1/3

(1)

NOTATIONS - DEFINITIONS

Pour tout P, on peut écrire : ba(P,t) ≡ ƒ(M,P,fT).F(P).M(t), dans cette expression :

- M(t) est le moment magnétique du dipôle équivalent à l'antenne d'émission ;

- { M(t). F(p) } est le champ imposé au point P dans un milieu M électro-magnétiquement neutre à savoir : le vide ; les expressions de M(t) et F(p) figurent dans tous les ouvrages d'électromagnétisme néanmoins - dans les pages suivantes - elles seront réécrites afin de les adapter à nos notations ;

- ƒ(M,P,fT) traduit l'effet de propagation (atténuation) dans le milieu M séparant les deux antennes, atténuation fonction des caractéristiques électriques du milieu, de la fréquence fT du champ d'émission et de la distance AE-AR ; cet effet d'atténuation sera détaillé dans le paragraphe suivant : il sera justifié que - dans les conditions de mise en ?uvre de l'appareillage TEPEX - on puisse admettre : ƒ(M,P,fT) # 1.

INFLUENCE DU MILIEU « M » - EFFET DE PEAU - EXPRESSION DE ƒ(M,fT,P)

Caractéristiques électriques de « M », notations :

- Conductivité γ : s'exprime en 1/Ω.m ;

(2)

- Perméabilité μ : (H/m) ;

- Permittivité ε : (F/m).

(3)

« M » présente à la fréquence fT une profondeur de pénétration « δ » [3], donnée par :

δ = 1 / [ π.μ.γ.fT ] 1/2

(4)

Posant k = | d / δ |, pour k ≤ 0,5, on peut écrire [5] :

F(M,fT,k) # (1 + k) exp(-k) avec k = | d / δ |

(5)

Evaluation numérique

Les relations (4) et (5) appliquées à un massif granitique d'épaisseur d = 20 m, pour lequel :
     - γ = 0,001 (Ω.m) -1 et μ = μo = 4π.10 -7(H/m),
conduisent pour fT = 2,93 kHz à δ ≈ 294 m, soit k = | d / δ | = 6,8.10 -2 et F(M,fT,k) # (1 - 2,2.10-3) ;
on en déduit, pour d = 20 m et par application de (1), une erreur absolue de mesure | da - d | inférieure à 5 centimètres.

Données complémentaires :

L'expression (4) ci-dessus suppose 2 π fT ε / γ << 1 ;
avec les données numériques précédentes : d = 9,3 / (γ )1/2 mètres soit :

- pour un sol humide : γ = 0,01 (Ω.m) -1 et fT = 2,93 kHz : δ ≈ 93 mètres

- pour un sol moyennement sec : γ = 0,001 (Ω.m) -1, δ ≈ 294 mètres ;

- pour la glaise humide : γ = 0,01 à 0,015 (Ω.m) -1, δ ≈ 78 à 93 mètres .

Pour k = | d / δ | ≤ 0,5 , l'évaluation numérique précédente

- d'une part, démontre l'indépendance - dans les conditions ci-dessus - de la distance mesurée vis à vis de la nature du milieu, « M », donc l'accès à la mesure de l'épaisseur de la banquette par différence des mesures « traversante » et « ultrasonique » (voir présentation du TEPEX ML2) ;

- d'autre part, justifie les conditions dans lesquelles les procédures d'étalonnage et de contrôle doivent être effectuées : en site dégagé et magnétiquement neutre.

Par la suite on admettra : ƒ(M,fT,P) = 1.

CARTOGRAPHIE du CHAMP d'INDUCTION

Sonde d'émission AE (voir figure 1)

Centrée en 0, son axe longitudinal définit l'axe 0y d'un plan x0y (qui - par la suite- servira de référentiel), elle impose dans le milieu isotrope « M » qui l'entoure un champ d'induction [1], [2], dont les surfaces iso-champ sont de révolution autour de son axe Oy [1] ; à un courant sinusoïdal d'antenne - de fréquence fT - correspond un champ d'induction sinusoïdal de même fréquence.

Figure 1.L'antenne d'émission « AE » est centrée en 0, son axe longitudinal est vertical. Elle impose, en tout point P du plan x0y, un champ d'induction dont les composantes sont repérées :
      - en notation polaire : bρ(P,t) et bθ(P,t),
      - en représentation rectangulaire : bv(P,t) et bh(P,t)

COMPOSANTES VECTORIELLES du CHAMP d'INDUCTION

Notations { d , h } : coordonnées de P.

Hypothéses :

- milieu électro-magnétiquement neutre : ƒ( M, fT,P) = 1 ;

- distance |0P| très supérieure à la plus grande dimension de l'antenne (pour nos sondes : |0P| > 2 mètres ).

En coordonnées polaires (ρ, θ), les composantes radiale et tangentielle (cf. fig.1) sont respectivement notées bρ(P,t) et bθ(P,t) ;

En coordonnées rectangulaires, les composantes verticale et horizontale sont notées bv(P,t) et bh(P,t).

Expressions littérales de bρ(P,t) et bθ(P,t)

Selon [5] on peut écrire :

bρ(P,t) = 2 M(t) cosθ / 4πρ3      bθ(P,t) = M(t) sinθ / 4πρ3

(6)

Expressions littérales de bv(P,t) et bh(P,t)

La composante verticale bv(P,t) en P résulte de la composition vectorielle ? sur la verticale en ce point - des composantes bρ(P,t) et bθ(P,t) :

bv(P,t) = bρ (P,t) cosθ - bθ(P,t) sinθ = [M(t) / 4πρ3] [2cos2θ ? sin2θ]

(7)

           = [M(t) / 4πρ3] [2 cos2θ ? sin2θ] [ 3 cos2θ - 1],

             avec ρ = d √ 1 + (h / d)2

             et cos2θ = (h / d)2 / [1 + (h / d)2].

Finalement, bv(P,t) peut se mettre sous la forme :

bv(P,t) = √2 B0 (d0 / d)3 Fv(r) cos(2πfTt)

(8)

             avec : r = h / d et Fv(r) = (1 - 2r2) / (1 + r2)2,5 ;

B0 (d0 / d)3 Fv(r) ≡ Bv(P) : valeur efficace de la composante verticale du champ au point P de coordonnées {d , h}.

Dans cette dernière expression, B0 et d0 sont des paramètres spécifiques à la sonde d'émission : B0 est la valeur efficace de la composante verticale de champ au point P0 de coordonnées {d0, 0}.

Pour la sonde EM25 : B0 = 100 nT à d0 = 1 mètre.

La composante horizontale bh(P,t) en P résulte de la composition vectorielle - sur l'horizontale en ce point - des composantes bρ(P,t) et bθ(P,t) ; par un calcul similaire au précédent on établit les expressions suivantes :

bh(P,t) = √2 B0 (d0 / d)3Fh(r) cos(2πfTt)

(9)

              avec : Fh(r) = 3r / (1 + r2)2,5 ;

Bh(P) ≡ B0 (d0 / d)3 | Fh(r) | : valeur efficace de la composante horizontale du champ au point P de coordonnées {d , h}.

Conclusions : pour AE verticale et centrée en 0, au point P - {d , h} - :

- la valeur efficace - Bv(P) - de la composante verticale du champ est donnée par :

bv(P) = B0 (d0 / d)3| Fv(r) | avec | Fv(r) | = (2 r2- 1) / (1 + r2)2,5

(10)

- et la valeur efficace - Bh(P) - de la composante horizontale du champ est donnée par :

bh(P) = B0 (d0 / d)3| Fh(r) | avec Fh(r) = 3r / (1 + r2)2,5

(11)

- pour mémoire : r = h / d.

AR inclinée - Expressions littérales de bσv(α,P,t) et bσh(β,P,t) (voir figure 2)

Certaines procédures de mesures décrites par la suite imposent de présenter l'axe longitudinal de l'antenne AE en situation verticale et celui de l'antenne de réception - AR - soit :

- en position verticale « ARV » en vue de la mesure de Bv(P),

- en position horizontale « ARH » en vue de la mesure de Bh(P) ; en pratique, suite à des erreurs de présentation - par rapport aux positions idéales - l'axe longitudinal de AR peut se trouver incliné de α° par rapport à la verticale ou de β° par rapport à l'horizontale (voir figure 2, notations précisées en légende) , ces erreurs de présentation affectent le résultat des mesures.

il va être démontré que dans de telles configurations la composante axiale du champ est une combinaison linéaire des composantes bv(P,t) et bh(P,t), combinaison à coefficients de pondération dépendants des défauts de présentation mais aussi des coordonnées de P.

Notations : dans le premier cas le signal d'antenne est proportionnel à bσv(α,P,t) de valeur efficace notée Bσv(α,P), dans le second il s'agira de bσh(β,P,t ) : valeur efficace notée Bσh(β,P).

Figure 2.L'antenne d'émission - verticale - est centrée en 0 {0,0}, celle de réception centrée en P {d , h}, est :
a - soit inclinée d'un angle α par rapport à la verticale en P, dans ce cas la composante axiale est notée bσv(α,P,t), sa valeur efficace est notée Bσv(α,P) ;
b - soit inclinée d'un angle β par rapport à l'horizontale, sa composante axiale est alors notée bσh(β,P,t) et sa valeur efficace : Bσh(β,P) ;
c - en présentation idéale : α = β = 0, les valeurs efficaces des composantes sont alors notées : Bv(P) et Bh(P).

Les expressions de Bσv(α,P) et de Bσh(β,P) se déduisent de celles de bσv(α,P,t) et de bσh(β,P,t) - reprendre ci-dessus le principe de calcul de bv(P,t) - :

1 - bσv(α,P,t ) = bv(P,t) cosα + bh(P,t) sinα d'où :

Bσv(α,P) = B0 (d0 / d)3 | Fv(r) cosα { 1 + ( Fh(r) / Fv(r) ) tgα } |

(12)

On notera que Bσv(α,P) s'annule pour { 1 + ( Fh(r) / F v(r) ) tgα } = 0 soit :

tgα = - Fv(r) / Fh(r ) = - ( 1 - 2r2) / 3r

(13)

2 - bσh(β,P,t ) = bh(P,t) cosβ - bv(P,t) sinβ d'où :

Bσh(β,P) = B0 (d0 / d)3 | Fh(r) cosβ { 1 - ( Fv(r) / Fh(r) ) tgα } |

(14)

REMARQUES

C-1. Le repérage du sens de l'inclinaison - par rapport à la verticale - de AR conduisant à une annulation du signal de réception permet une localisation approchée de P :

- à α positif correspondent des coordonnées de P satisfaisant à r = h / d < 0,707,

- à α négatif : r = h / d > 0,707.

C-2. La valeur algébrique de tgα - reportée dans (13) - permet de calculer r - racine positive (voir en section II : principe ARCANA de la localisation 2D) - de :

2r2 - 3r tgα - 1 = 0 pour α positif,

(14-a)

2r2 + 3r tgα + 1 = 0 pour α négatif.

(14-b)

FORMULAIRE

Effet de peau :

F-1 - Profondeur de pénétration :

δ = 1 / [ π.μ.γ.fT ]1/2.

Composantes du champ d'induction

F-2 - Coordonnées polaires :

bρ(P,t) = 2 M(t)cosθ / 4πρ3       bθ(P,t) = M(t) sinθ / 4πρ3.

F-3 - Coordonnées rectangulaires :

F-3-a - Composante verticale :

bv(P,t) = √2 B0 (d0 / d)3 Fv(r) cos (2πfTt)

avec :

r = h / d
Fv(r) = (2r2 - 1) / (1 + r2)2,5
fT : fréquence d'émission
→ B0 ≡ Bv(P0) : valeur efficace de la composante verticale du champ au point P0 de coordonnées {d0 , 0} ;
→ B0 (d0 / d)3| Fv(r) | ≡ Bv(P) : valeur efficace de la composante verticale du champ au point P de coordonnées {d , h}.

F-3-b - Composante horizontale :

bh(P,t) = √2 B0 (d0 / d)3Fh(r) cos(2πfTt)

avec :

r = h / d
Fh(r) = 3r / (1 + r2)2,5
→ B0 (d0 / d)3| Fh(r) | ≡ Bh(P) : valeur efficace de la composante horizontale du champ au point P de coordonnées {d , h}.

F-3-c - r = h / d ↔ u = d / h.

Certaines situations de mesure conduisent à une valeur très grande du paramètre r = h / d, dans de tels cas - pour des raisons mathématiques - il est préférable de substituer :

- à r le paramètre u = 1 / r = d / h,

- à Fv(r) et Fh(r) les fonctions Gv(u) et Gh(u).

Notation (a), r = h / d
F-3-c-a
Notation (b), u = d/h
F-3-c-b
bv(P) = B0 (d0 / d)3| Fv(r) |
avec Fv(r) = (1 - 2 r2) / (1 + r2)2,5
Bv(P) = B0 (d0 / h)3 | Gv(u) |
avec : Gv(u) = (2 - u2) / (1 + u2)2,5
bh(P) = B0 (d0 / d)3| Fh(r) |
avec Fh(r) = 3r / (1 + r2)2,5
Bh(P) = B0 (d0 / h)3| Gh(u) |
avec : Gh(u) = 3u / (1 + u2)2,5

F-4 - Composantes du champ d'induction, antenne inclinée sur la verticale/horizontale

F-4-a - bσv(α,P,t) = bv(P,t) cosα + bh(P,t) sinα d'où :

bσv(α,P,t) = √2 B0 (d0 / d)3 Fv(r) cosα { 1 + ( Fh(r) / Fv(r) ) tgα } cos(2πfTt),

Bσv(α,P) = B0 (d0 / d)3| Fv(r) cosα { 1 + (Fh(r) / Fv(r)) tgα } |.

Note : bσv(α,P,t) s'annule pour tgα = (2r2 - 1) / 3r

F-4-b - bσh(β,P,t) = bh(P,t) cosβ - bv(P,t) sinα d'où

Bσh(β,P) = B0 (d0 / d)3| Fh(r) cosβ { 1 - ( Fv(r) / Fh(r) ) tgβ } |.

SECTION II
TELEMETRIE traversante TEPEX
APPLICATIONS BASIQUES

Cette présentation reprend les notations adoptées en section I et met en œuvre les bases « scientifiques » mises en place.

II - A. MESURES de DISTANCE

a - Mesures dans un plan horizontal : antennes verticales, centres coplanaires

Présentation : les antennes sont coplanaires, leurs axes longitudinaux sont parallèles et leurs centres positionnés dans un plan horizontal orthogonal à ces axes (voir figure A-1).

Note: cette situation de mesure est celle mise en œuvre lors de la phase de calibration des mesureurs TEPEX.

Pour mémoire : lorsque le centre magnétique de AR (axe vertical) est en P0 {d0, 0} la composante du champ d'induction sur son axe longitudinal est Bv(P0) = B0 (voir « F-3-a ») et la distance affichée est da = d0.

Pour toute autre position de P sur 0x (cf. « F-3-a ») :

Bv(P) = B0 (d0 / d)3      da = { d0(B0 / Bv(P) }1/3

Figure A - 1.Sonde d'émission - AE - verticale centrée en {0,0}; antenne de réception AR centrée en P { d, 0 }. Son axe est vertical : le signal d'antenne est proportionnel à Bv(P) ; selon « F-3a » : la distance affichée est donnée par : da = d0 { B0 / Bv(P) }1/3 ≡ d

PROCEDURE DE CALCUL

Pré-suppose les connaisssances des paramètres d0 et B0 de la sonde d'émission ; pour la sonde EM25 : B0 = 100 nT à d0 = 1 mètre.

La valeur de d est déduite de la mesure de la composante axiale du champ en P :

da = d = d0 { B0 / Bv(P) }1/3.

ERREUR DE POSITIONNEMENT (voir figure A-2a )

Au lieu d'être situé sur l'axe 0x, le centre magnétique de AR est positionné en P*{d , h}, dans ce cas : r* = h / d ≠ 0, | Fv(r *) | ≠ 1 est donné par « F-3-a », la valeur affichée da n'est plus égale à « d » mais à d* avec :

d* = d.{ | Fv(r*) | }-1/3, il s'ensuit une erreur absolue de mesure donnée par d(1 - { |Fv(r*)| }-1/3) qui, pour d = 8 m et h = 0,5 m, vaut 0,05 m et 0,19 m pour h = 1 mètre.

Figure A - 2a.Erreur de positionnement : le centre magnétique de AR n'est pas sur l'axe 0x

Application numérique :
- P en {8 m,0m} : da = d = 8,00 m
- P en {8 m,1m} : da = 8,19 m

ERREUR de PARALLELISME et de POSITIONNEMENT (voir figure A-2b)

Figure A - 2b.Erreur de positionnement et de parallélisme : le centre magnétique de AR est positionné en {d , h} et non en {d , 0} et son axe longitudinal est incliné de α° sur la verticale en P.

Dans ces conditions, la valeur efficace - Bσv(α,P) - de la composante axiale d'induction est donnée par F-4-a (cf. formulaire ou - pour plus de détails - Section I).

Bσv(α,P) = B0 (d0 / d)3| Fv(r) cosα { 1 + (Fh(r) / Fv(r) tgα } |

da = d0 (B0 / Bσv(α,P) )1/3.

Application numérique :
- P en {8m,0m}, α = 0° : da = 8,00 m = d,
- P en {8m,0m}, α = 5° : da = d.(cos α )-1/3 = 8,01 m,
- P en {8m,0m}, α = 10° : da = d.(cos α )-1/3 = 8,04m.

- P* en {8m,1m}, α = 0° : da = 8,19m,
- P* en {8m,1m}, α = 5° : da = d0(B0 / Bσv(α,P) )1/3 = 8,11m,
- P* en {8m,1m}, α = 10° : da = 8,06m.

b - Mesures dans un plan vertical - axes longitudinaux colinéaires

Les axes des antennes sont verticaux et colinéaires, AE est centrée en {0 , 0}, AR en {0 , h}, voir figure A-3.

Pour cette présentation r = h / d est infini, il est préférable de lui substituer le paramètre u = 1/r = d/h (cf. formulaire F-3-c) qui conduit - pour u = 0 - à Gv(0) = 2 d'où :

h = 21/3.da = 1,26.da

Figure A - 3. Les axes des antennes sont colinéaires et verticaux, distance affichée : da = 2-1/3. h

II - B. RATTACHEMENT SOL-SOUS SOL

INTRODUCTION

La procédure de rattachement sol/sous-sol (on dit aussi fond-jour) a pour finalité de faire correspondre à un point 0 d'une cavité souterraine - pénétrable - un point 0' du milieu extérieur, situé au niveau du sol et à la verticale de 0 (voir figure B - 1).
Cette opération permet la superposition des relevés topographiques effectués en surface à ceux réalisés en milieu souterrain et, accessoirement, la mesure de l'épaisseur de recouvrement hr.

Figure B - 1. Le rattachement sol / sous-sol permet de localiser, en surface, le point 0' situé à l'aplomb de 0 et d'accéder à la valeur de l'épaisseur - hr - de recouvrement, il nécessite deux mesures.

PRESENTATION simplifiée de la PROCEDURE

Met en œuvre :

- une sonde d'émission et son antenne repérée « AE » (type EM25 / pendulaire ) ;

- un récepteur type ML3 - antenne repérée « AR » - sur support.

La sonde d'émission « AE » - centrée en 0 - est localisée dans la cavité souterraine pénétrable (voir figure B-1), son axe longitudinal est vertical ; elle impose en tout point « P » de l'espace extérieur un champ d'induction de composantes verticale et horizontale respectivement notées Bv(P) et Bh(P).
Lorsque l'antenne de réception est verticale elle délivre un signal électrique proportionnel à la composante axiale verticale Bv(P) du champ en son centre et un signal proportionnel à Bh(P) lorsque son axe longitudinal est horizontal (voir figure B-1).
Procédure : en surface, l'intervenant - muni du récepteur - « arpente » le terrain, suit les variations de la valeur du champ mesuré, oriente ses déplacements en fonction des informations affichées et se trouve guidé vers le point P' situé sur la verticale « 0 0' » (ce principe sera repris et développé plus en détail par la suite).

BASES PHYSIQUES et ILLUSTRATION de la PROCEDURE

Notes :

a - les « bases scientifiques » de la procédure ont été développées en SECTION I ; seules sont rappelées, ci-dessous, les informations indispensables à un exposé - rapide et illustré - de la procédure ;

b - par la suite les coordonnées de P (centre magnétique de « AR ») - définies dans le plan de référence x0y - seront notées {d ,h} ; l'axe 0y se confond avec l'axe longitudinal de « AE », l'axe 0x lui est perpendiculaire en 0 (centre magnétique de « AE »).

c - en rattachement sol - sous sol, certaines situations de mesure conduisent à une valeur très grande du paramètre r = h / d, dans de tels cas, pour des raisons mathématiques, il est préférable de substituer :

- à r le paramètre u = 1/r = d/h,

- à Fv(r) et Fh(r) les fonctions Gv(u) et Gh(u) ( voir section I ,§ F-3-c).

Rappels. COMPOSANTE VERTICALE DU CHAMP D'INDUCTION Bv(P)

En tout point « P » - du plan x0y - de coordonnées {d , h}, la composante verticale notée « Bv(P) » du champ est donnée par :

(Ra1)    Bv(P) = B0 (d0 / h)3 Gv(u)     avec u = d / h et

(Ra2)    Gv(u) = | (2 - u2) / (1 + u2)2,5 |

Notes : Gv(u) tend vers 2    pour u2 << 1,

Gv(u) tend vers | 1 / u3 |    pour u2 >> 1,

Gv(u) = 0    pour | u | = √2.

COMPOSANTE HORIZONTALE DU CHAMP D'INDUCTION Bh(P)

En tout point « P » - du plan x0y - de coordonnées {d , h}, la composante horizontale notée « Bh(P) » du champ est donnée par :

(Ra3)    Bh(P) = B0 (d0 / h)3 Gh(u)     avec u = d / h et

(Ra4)    Gh(u) = | 3u / (1 + u2)2,5 |

Notes : Gh(u) tend vers | 3u |    pour u2 << 1,

Gh(u) tend vers 3 / u4    pour u2 >> 1,

Gh(u)max # 0,585    pour u = 0,5,

Gh(u) = 0    pour u = 0.

ILLUSTRATION DE LA PROCEDURE

Une simulation numérique de la procédure a été effectuée (application des formules Ra1 à Ra4 ci-dessus) pour les conditions suivantes :

- B0 = 100 nT (lire 100 nanoTesla) à d0 = 1 mètre ;

- antenne « AR » centrée en P de coordonnées {d , h} : abscisse d variable de 0 à 50 mètres, ordonnée constante : h = 10 mètres ;

- calculs effectués pour { B0 (d0 / h)3 } = 100 pT (lire 100 picoTesla) ;

- axe longitudinal de « AR » soit vertical et calcul de Bv(P), soit horizontal et calcul de Bh(P).

Les résultats de cette simulation se traduisent par les représentations graphiques des figures B-2a et B-2b pour lesquelles l'échelle verticale B(P) est soit linéaire (2a), soit logarithmique (2b).

Figure B - 2a.Représentation de B(P) {↑,nT} en fonction de d {→,m}, - axe B(P) : échelle linéaire.

Figure B - 2b.Représentation de B(P) {↑,nT} en fonction de d {→,m}, - axe B(P) : échelle logarithmique.
Figures B - 2. Résultats des simulations numériques :
- variations de Bv(P) et Bh(P) pour h = 10 mètres et d compris entre 0 et 50 mètres ;
- rappel : calculs effectués pour { B0 (d0 / h)3 } = 0,1 nT = 100 pT.

REMARQUES - En figure B-2b on distingue nettement la présence de points « singuliers » sur les courbes représentatives de Bv(P) et Bh(P) :

- la première, Bv(P), s'annule en Pz pour d = h√2 # 14,1m (voir notes associées à Ra2 et Ra4) ;

- la seconde, Bh(P), passe par un maximum ( # 0,085 nT = 85,8 pT) pour u = 0,5 soit - dans notre application - d = 5 m.

Les résultats de ces simulations conduisent aux conclusions suivantes :

1 - comme prévu (voir données numériques, formules Ra1 à Ra4 et notes associées) : lorsque d tend vers 0 : Bv(P) tend vers { 2B0 (d0 / h) }3 = 0,200 nT et Bh(P) vers 0 ;

2 - en conséquence : une localisation précise de P' - {d =0, h = 10m}, Bh (P') = 0 - donc de 0' ne peut se faire que par le suivi des variations rapides de Bh(P) à l'approche de d = 0, suivi qui impose une présentation horizontale de l'axe longitudinal de « AR » ;

3 - la mesure de h = 0P' requiert quant à elle une présentation verticale de « AR » et la mise en fonction « distancemètre » du récepteur : la profondeur « 00'» se déduit de la distance affichée daf et de la hauteur hs (voir notes ci-dessous) par :

00' = (1,26.daf) - hs.

Notes :

a - « hs » : distance entre le centre P de « AR » et le point de contact du support du récepteur avec le sol ;

b -la distance - daf - affichée est définie par :

Bh(P') = B0 (d0 / daf)3 = B0 (d0 / h)3Gh(u) avec - en P' - Gh(u) = 2 d'où :

                      00' = 21/3.daf # 1,26daf - hs.

II - C. LOCALISATION 2D - ARPENTAGE (extérieur ou en sous-sol) - MESURE de la SUR PROFONDEUR de FORATION

La procédure comporte :

- une phase de positionnement ;

- une phase de mesures comportant deux séries de mesures ;

- enfin une phase de calcul qui permet d'accéder à la valeur de la SPF.

La phase de positionnement : fonction de la finalité des mesures.

INTRODUCTION

La procédure de « LOCALISATION 2D » a pour finalité de déterminer les positions relatives de deux points 0 et P, elle est à mettre en œuvre :

- soit dans des opérations d'arpentage en carrières souterraines ou en milieu extérieur ;

- soit lors d'opérations de contrôle foration, application qui - par la suite - servira d'illustration.

PRESENTATION de la PROCEDURE

La procédure proposée met en œuvre un système de mesure TEPEX constitué d'une sonde d'émission « AE » de type EM25 / pendulaire et d'un récepteur de type ML3 dont l'antenne de réception « AR » est centrée en P.

L'antenne d'émission « AE » est centrée en 0, son axe longitudinal vertical définit l'axe 0y d'un plan « x0y » auquel appartient le point « P » - centre magnétique de « AR » ; l'axe 0x est orthogonal à 0y en 0 : origine des coordonnées ; dans ce plan, les coordonnée de P sont notées {d , h} (voir ci-dessous : figure C - 1).

Figure C - 1.La localisation 2D permet de déterminer les positions relatives des points 0 et P. Deux mesures sont nécessaires. Pour l'une l'antenne de réception est verticale (ARV), d'où la mesure de Bv(P), pour l'autre AR est horizontale d'où la mesure de Bh(P). Une procédure de calcul conduit aux valeurs des coordonnées {d , h} de P.

Les deux séries de mesures :

- pour l'une, l'axe de l'antenne de réception « AR » (centre noté P) est présenté horizontalement (présentation notée ARH, axe pointé vers l'axe vertical de AE : on note Bh(P) la valeur de l'induction mesurée (ou la moyenne d'une série de mesures ) ;

- pour l'autre, « AR » est présentée verticalement (ARV) - moyenne d'une série de mesures) - centre P en même position que précédemment - on note : Bv(P) la valeur de l'induction mesurée (ou la moyenne d'une série de mesures).

La phase de calcul peut être manuelle ou automatique - et, dans ce cas, effectuée par un logiciel spécifique associé au récepteur - elle permet d'accéder à la localisation de P (ou à la mesure de la sur profondeur de foration ).

PRINCIPE de la PROCEDURE de CALCUL

La localisation de P - dans le référentiel x0y - peut être déduite de la mesure des valeurs efficaces des composantes Bh(P) et Bv(P) en ce point.
Selon la valeur présumée r* de r = h / d, le logiciel de calcul mettra en œuvre une des deux procédures ( α ou β ) suivantes.

PROCEDURE α : r* < 0,60   ( r < 1/√2 → Bv(P) / Bh(P) = α > 0 ).

- On pose Bv(P) / Bh(P) = α = (1 - 2r2) / 3r    avec r = h / d

(C-F-1)

Remarques : - pour r = 0,707 : α = 0    - pour r = 0 : α positif, infini.

- Dans ce cas r et α sont reliés par la relation : 2r2 + 3αr - 1 = 0

(C-F-2)

- Pour P localisé dans le premier quadrant de x0y : r > 0 (et inférieur 1/√2) : la solution positive rα de (F-2) est donnée par :

rα = (-3α + √(9α2 + 8) ) / 4

(C-F-3)

  (rappels: P de coordonnées { d , h },    r = h / d)

- Les expressions littérales des coordonnées « d et h » de P s'obtiennent en reportant l'expression de rα dans Ra1 et Ra2, finalement :

d = d0{ B0Fh(rα) / Bh(P) }1/3

h = rαd0{B0Fh(rα) / Bh(P) }1/3

(C-F-4)

PROCEDURE β : r* > 0,80   ( r ≥ 1/√2 → { (1 - 2r2 ) / 3r } < 0 ).

- Rappels : P - {d , h} - localisé dans le premier quadrant, r = h / d ;

- On pose β = Bv(P) / Bh(P) : β = (2 r2 - 1) / 3r    avec r = h / d.

Remarques : - pour r = 0,707 : β = 0
                   - pour r > 0,707 : β > 0
                   - lorsque 2r2 >> 1 : β tend vers (2r / 3) > 0.

- Dans ce cas r et β sont reliés par la relation : 2r2 - 3βr - 1 = 0

(C-F-5)

- Pour P localisé dans le premier quadrant de x0y avec r > 0 et r < 1/√2 ), la solution rβ de (F-5) est donnée par :

rβ = { +3β + √(9β2 + 8) } / 4

(C-F-6)

- Reportant l'expression de rβ dans Ra1 et Ra2 , on obtient :

d = d0{ B0Fh(rβ) / Bh(P) }1/3

h = rβd0.{ B0Fh(rβ) / Bh(P) }1/3 = rβd

(C-F-7)

NOTES

D'autres méthodes de localisation 2D ont été imaginées, citons les procédés - relativement proches - ARCANA [5] et UGPS-1 [6] : si leurs principes et les moyens mis en œuvre s'apparentent au matériel TEPEX, leurs procédures de mesure différent.

Prenant - pour exemple - la procédure ARCANA, une localisation requiert deux étapes :

- a - première phase, par repérage sol / sous- sol : localisation du point 0' situé à la verticale du centre de AE ;

- b - deuxième phase : antenne inclinée, l'utilisateur s'éloigne de 0', optimise l'inclinaison α° de son axe longitudinal façon à obtenir un minimum de champ, localise et pointe le point P correspondant et note la valeur de α° pour laquelle Bσv(α,P) # 0.

Dépouillement des mesures (il peut être indispensable de revoir : Section I /.. Composantes vectorielles du champ/.. Antenne de réception oblique,/.. notes jointes :équations 14-a et b) :

- a - au sol, à l'aide d'un décamètre, mesure de d = 0'P,

- b - de la valeur mesurée de α°, en déduire « r = » (par résolution des équations 14-a ou 14-b / section I),

- c - enfin de la valeur - mesurée- de d, de celle - calculée - de r, déduire : h = r.d = ...

MESURE de la SUR PROFONDEUR DE FORATION : la Localisation 2D appliquée à la mesure de la Sur Profondeur de Foration.

La Sur Profondeur de Foration - SPF - est définie figure C-2, en situation de mesure :

- la sonde d'émission AE est positionnée en fond du trou de foration, son axe longitudinal est vertical (sonde pendulaire) et centrée en 0 ;

- le centre magnétique P de l'antenne de réception est situé à la verticale d'un point « R » - référence au sol - et à hauteur notée « hs » de R (voir note1 ci-dessous) ;

- les notations précédentes sont reprises.

Figure C - 2.- la Sur Profondeur de Foration « SPF » est définie ci-dessus ;
- l'application de la procédure « Localisation 2D » permet d'accéder aux valeurs de h et d, après « correction » : SPF = h + h' - hs ;
- h' et hs sont des paramètres dimensionnels propres au matériel de mesure.

La procédure de localisation 2D impose que l'axe longitudinal de l'antenne AR soit présenté :

- soit verticalement et dans ce cas on procède à la mesure de Bv(P) : valeur efficace de la composante verticale de l'induction en P ;

- soit horizontalement (présentation ARH) et très exactement pointé vers celui de AE (voir note 2 ci-dessous), on note alors la valeur Bh(P) - valeur efficace de la composante horizontale de l'induction en P.

Des mesures de Bv(P) et Bh(P) on déduit (voir principe de calcul ci-dessus) les coordonnées {d , h} de P par rapport à 0 puis tenant compte de la hauteur - hs - du support du récepteur et la position - h' - du centre magnétique de AE par rapport à l'extrémité du corps de sonde on déduit :

SPF = h + h' - hs

Notes

1- Pour des mesures de qualité il est indispensable :

1-a - que les axes des antennes soient rigoureusement parallèles ou orthogonaux,

1-b - que le centre magnétique de AR soit, quelle que soit l'orientation de AR, à hauteur constante - hs - du point R de référence d'où la nécessité de fixer le boîtier récepteur (solidaire de AR) sur un « support-canne » qui prend appui - en R - sur le sol.

2 - Les lignes iso-champ de Bh(P) - contrairement à celles de Bv(P) - ne sont pas de révolution autour de l'axe de AE ; il est donc indispensable - en présentation « ARH » de rechercher l'orientation optimale de l'axe de AR : à cette orientation correspond la valeur affichée maximale de Bh(P).

Exemple d'application : les séquences de mesures (1) ont conduit aux valeurs suivantes :

Bv(P) = 0,124 nT      Bh(P) = 0,145 nT

(1) Mesures effectuées avec une sonde EM25 pour laquelle : B0 = 100 nT à d0 = 1 mètre.

En situation de mesure de la SPF : h # 8 m , d # 1,5 + 1 = 2,5 m donc r* # 0,3 < 1/√2 : la procédure « α » est à appliquer (relations C-F-1 à C-F-4).

Des mesures, on déduit : Bv(P) / Bh(P) = 0,8552 = α

- cette valeur reportée dans (C-F-2) → rα = 0,3133 → Fh(rα) = 0,7437 (cf. Ra2)

- Fh(rα)= 0,7437 dans (C-F-4) → h # 2,51 m puis (F-4) : d # 8,00 mètres.

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